Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式：

3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）

（1）求证：数列{a_n}是等比数列；

（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，b_n=f（）（n=2，3，4，…），求数列{b_n}的通项b_n；

（3）求和：b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1.

 

Answer 1

答案：
解析：

.解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2= 又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t           ① 3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t    ② ①－②得3tan－（2t+3）an－1=0 ∴，（n=2，3，…） 所以{an}是一个首项为1，公比为的等比数列. （2）由f（t）=，得bn=f+bn－1. ∴{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列. ∴bn=1+（n－1）= （3）由bn=，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列于是b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2（b1－b3）+b4（b3－b5）+b6（b5－b7）+…+b2n（b2n－1+b2n+1） =－（b2+b4+…+b2n? ?/span>=－ =－（2n2+3n）