Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，AB=5，  cos∠ABC=

1

5

．
（Ⅰ） 若BC=4，求△ABC的面积S_△ABC；
（Ⅱ） 若D是边AC中点，且BD=

7

2

，求边BC的长．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ） 先求sin∠ABC，从而S△ABC=

1

2

|BA|•|BC|•sin∠ABC=4

6

；
（Ⅱ） 以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，求出cos∠BCF，BE，CE，从而由余弦定理可得49=CB2+25-2×5×CB×(-

1

5

)，可解CB的值．

解答： 解：（Ⅰ） AB=5 ，  cos∠ABC=

1

5

，BC=4，
又∠ABC∈（0，π），所以sin∠ABC=

1-cos2∠ABC

=

2 6

5

，
∴S△ABC=

1

2

|BA|•|BC|•sin∠ABC=

1

2

×5×4×

2 6

5

=4

6

．   
（Ⅱ） 以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，

则cos∠BCE=-cos∠ABC=-

1

5

，BE=2BD=7，CE=AB=5，
在△BCE中，由余弦定理：BE²=CB²+CE²-2CB•CE•cos∠BCE．
即49=CB2+25-2×5×CB×(-

1

5

)，
解得：CB=4．

点评：本题主要考察了余弦定理的应用，考察数形结合与计算能力，属于中档题．