题目内容
8．已知a为常数，函数f（x）=ax3-3ax2-（x-3）ex+1在（0，2）内有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）| A． | $（-∞，\frac{e}{3}）$ | B． | $（\frac{e}{3}，{e^2}）$ | C． | $（\frac{e}{3}，\frac{e^2}{6}）$ | D． | $（\frac{e}{3}，+∞）$ |
分析 求出函数f（x）的导数，问题转化为y=a和g（x）在（0，2）有2个交点，根据函数的单调性求出a的范围即可．
解答 解：f′（x）=（x-2）（3ax-ex），
若f（x）在（0，2）内有两个极值点，
即a=$\frac{{e}^{x}}{3x}$在（0，2）有2个解，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{3x}$，x∈（0，2），
问题转化为y=a和g（x）在（0，2）有2个交点，
则g′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{3x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：1＜x＜2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，
故g（x）min=g（1）=$\frac{e}{3}$，而f（2）=$\frac{{e}^{2}}{6}$，
x→0时，f（x）→+∞，
故a∈（$\frac{e}{3}$，$\frac{{e}^{2}}{6}$），
故选：C．
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
练习册系列答案
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9．曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T极坐标方程2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最大值（ ）
| A． | $\sqrt{13}+4\sqrt{5}$ | B． | $2+4\sqrt{5}$ | C． | $4+4\sqrt{5}$ | D． | $6\sqrt{5}$ |