Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，

椭圆上的点满足，且的面积．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线

平分？若存在，求出的斜率取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：

（Ⅰ）由题意知：，            

椭圆上的点满足，且，

．

，．

．                 

又．                 椭圆的方程为．                

（Ⅱ）假设这样的直线存在．与直线相交，直线的斜率存在.

设的方程为，                     

由 得．（*

直线与椭圆有两个交点，

（*）的判别式，即．①

设、，则 ．　

被直线平分，可知，

　　，． ②　　　

把②代入①，得，即．

，．                       

或．即存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是

．