Question

9．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DP}$的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，2]．

Answer 1

分析 以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），设点P（x，0），0≤x≤2，
根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DP}$=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，根据二次函数的性质即可求出答案．

解答 解：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，
垂足为E，
∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，
∴∠ABC=60°，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=$\frac{1}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，
∴$\overrightarrow{AP}$=（x-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DP}$=（x-$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DP}$=（x-$\frac{1}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$）+$\frac{3}{4}$=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，有最小值，最小值为-$\frac{1}{4}$，
当x=0时，有最大值，最大值为2，
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DP}$的取值范围为[-$\frac{1}{4}$，2]，
故答案为：[-$\frac{1}{4}$，2]．

点评 本题考查了向量的坐标运算以及向量的数量积的运算，关键是构建坐标系，属于中档题．