Question

【题目】已知定义在上的函数的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上都不是常值函数.设，其中分点将区间任意划分成个小区间，记，称为关于区间的阶划分“落差总和”.

当取得最大值且取得最小值时，称存在“最佳划分”.

(1)已知，求的最大值；

(2)已知，求证：在上存在“最佳划分”的充要条件是在上单调递增.

(3)若是偶函数且存在“最佳划分”，求证：是偶数，且.

Answer 1

【答案】(1)3；(2)见解析；(3)见解析

【解析】

(1)直接利用题中给的定义求解即可；

(2)利用函数的单调性和数列的信息应用求出充要条件；

(3)利用函数的奇偶性和存在的最佳划分，进一步建立函数的单调区间，最后求出函数的关系式.

(1)；

(2)若在上单调递增，则，

故在上存在“最佳划分”

若在上存在“最佳划分”，倘若在上不单调递增，

则存在.

由（*）

等号当且仅当时取得，此时

，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点后，“落差总和”会增加，故取最大值时的最小值大于1，与条件矛盾.

所以在上单调递增；

(3)由(2)的证明过程可知，在任间区间上，若存在最佳划分，则当时，为常值函数（舍）；当时，单调递增；当时，单调递减，

若在上存在最佳划分，则此时在每个小区间上均为最佳划分.否则，添加分点后可使在上的“落差总和”增大，从而不是“落差总和”的最大值，与“在上存在最佳划分”矛盾，故在每个小区间上都是单调，

若在上存在最佳划分，则在相邻的两个区间上具有不同的单调性，否则，，

减少分点，“落差总和”的值不变，而的值减少1，故的最小值不是，与“在上存在最佳划分”矛盾，

存在“最佳划分”，故在每个小区间上都单调，而是偶函数，故在轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当时，，从而有.