Question

【题目】已知动点P到直线的距离与到点的距离之比为.

（1）求动点P的轨迹；

（2）直线与曲线交于不同的两点A,B(A,B在轴的上方)：

①当A为椭圆与轴的正半轴的交点时，求直线的方程；

②对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)动点P的轨迹为：，是中心在原点、焦点在轴、长轴长为2、短轴长为2的椭圆；(2) ①，②存在定点，满足题意，证明见解析.

【解析】

(1)利用点到直线的距离公式和两点之间距离公式，化简整理即可得出动点P的轨迹；

(2) ①求直线FB：和椭圆联立求B点坐标，然后利用两点式求直线方程；

②设直线方程和椭圆联立消元化简，由得，然后利用韦达定理代入化简可得，代入直线方程即可求得答案.

(1)设点P()，则P点到直线的距离，P点到点的距离，由题意，得，化简整理得：

所以动点P的轨迹为：，是中心在原点、焦点在轴、长轴长为2、短轴长为2的椭圆.

(2)由题意直线与曲线交于不同的两点A,B(A,B在轴的上方)，可得直线的斜率存在，设直线的方程为，由，可得.

①由(1)得曲线，则得A(0,1)，F(-1,0)，所以，，所以直线FB的方程为,由联立消得解得或，

代入，可得交点坐标：(0,-1)，()，由B点在轴上方则可得B点坐标为()，则由两点式可得直线：，化简得.

②存在定点，满足题意，证明如下：

设A()，B()

由消化简得

则，

所以由，，可得

化简得，代入和

化简得，所以直线方程为：，可得直线恒过点，

故无论如何变化，满足题意的直线恒过定点.