Question

【题目】如图，四边形是平行四边形，点， ， 分别为线段， ， 的中点．

（）证明平面；

（）证明平面平面；

（）在线段上找一点，使得平面，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）所找的点为与的交点．

【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面；（2）先根据线面平行的判定定理可证明平面， 平面，由面面平行的判定定理可得平面平面；（）设， 与分别交于， 两点，由三角形中位线定理可得，∴平面，即点为所找的点.

试题解析：（ ）证明：∵、分别是， 中点，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

（）证明：∵、分别是、中点，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

又∵，

平面， 平面，

∴平面，

点， ， 平面，

∴平面平面．

（）设， 与分别交于， 两点，

易知， 分别是， 中点，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

即点为所找的点．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.