Question

【题目】定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有，那么我们称数列为“—摆动数列”．

（）设， ， ，判断数列， 是否为“—摆动数列”，并说明理由；

（2）已知“—摆动数列”满足： ，求常数的值.

Answer 1

【答案】（1）不是， 是；（2）.

【解析】试题分析：（1）假设数列是“—摆动数列”，由定义知存在常数，总有对任意成立，通过给取值说明常数不存在即可，对于数列，通过观察取，然后按照定义论证即可；（2）根据数列为“—摆动数列”，及，可推出，由此可推出，同理可推出，从而不等式可证.

试题解析：（）假设数列是“—摆动数列”，即存在常数，总有对任意成立，取时，则，取时，则，显然常数不存在,

所以数列不是“—摆动数列”，

由于，所以对任意成立，其中，

所以数列是“—摆动数列”.

（）由于， ，数列为“—摆动数列”，

所以存在常数满足，使得对任意正整数，总有成立，

且有成立，则成立，

所以， ，

所以，

即，解得，

即，

又由得，解得，

即，

综上可得．