Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的方程为： ，直线的方程为．

（）当时，求直线被圆截得的弦长；

（）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；

（）在（）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（）；（）；（）．

【解析】试题分析：（1）圆的方程化为标准式，可得圆心，半径，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得直线被圆截得的弦长；（2）当所截弦长最短时， 取最大值，

圆心到直线的距离，令， ，利用配方法可得时取最大值，弦长取最小值，直线上方程为，（ ）设，当以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆刚好相切时， ，解得或，可得点横坐标的取值范围为．

试题解析：（ ）圆的方程为，圆心，半径．

当时，直线的方程为，

圆心到直线的距离，

弦长．

（）∵圆心到直线的距离

，

设弦长为，则，

当所截弦长最短时， 取最大值，

∴，令，

．

令

，

当时， 取到最小值．

此时， 取最大值，弦长取最小值，

直线上方程为．

（）设，

当以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆刚好相切时，

，

解得或，

由题意，圆与圆心有两个交点时符合题意，

∴点横坐标的取值范围为．