Question

设双曲线的一个焦点为F；虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设该双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为-．由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率．
解答：解：设该双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），
可得它的渐近线方程为y=±x，焦点为F（c，0），
点B（0，b）是虚轴的一个端点
∴直线FB的斜率为k_FB==-
∵直线FB与直线y=x互相垂直，
∴-×=-1，得b²=ac
∵b²=c²-a²，
∴c²-a²=ac，两边都除以a²，整理得e²-e-1=0
解此方程，得e=
∵双曲线的离心率e＞1，∴e=（舍负）
故选：D
点评：本题给出双曲线的焦点与虚轴一端的连线与渐近线垂直，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．