题目内容
2．已知f（x）=2sin（2x+φ），φ∈（0，$\frac{π}{2}$）对任意x有f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|（1）求f（x）图象对称轴方程和对称中心．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）单调减区间．
分析 （1）由题意可得函数的周期为π，φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根据正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程和对称中心．
（2）由条件利用正弦函数的减区间求得当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）单调减区间．
解答 解：（1）f（x）=2sin（2x+φ），φ∈（0，$\frac{π}{2}$）的周期为$\frac{2π}{2}$=π，
对任意x有f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|，故$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
即φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，又φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，可得函数的图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，可得函数的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（2）对于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
再结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函数的减区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．
点评 本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题．
