Question

15．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A₁E=mEC（m∈R），当二面角E-AD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$时，实数m的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由题意画出图形，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面AED的一个法向量（用含有m的代数式表示），再求得平面ADC的一个法向量，结合二面角E-AD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$列式求得m值．

解答 解：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取AC中点O，
以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB=2，AA₁=3，点D为棱BD的中点，
∴A（0，-1，0），C（0，1，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，0$），
A₁（0，-1，3），
又点E为A₁C上的点，且满足A₁E=mEC（m∈R），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}=m\overrightarrow{EC}$，
设E（x，y，z），则$\overrightarrow{{A}_{1}E}=（x，y+1，z-3）$，$\overrightarrow{EC}=（-x，1-y，-z）$，
∴（x，y+1，z-3）=（-mx，m-my，-mz），得x=0，y=$\frac{m-1}{m+1}$，
z=$\frac{3}{m+1}$．
∴E（0，$\frac{m-1}{m+1}$，$\frac{3}{m+1}$），
则$\overrightarrow{AD}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{AE}=（0，\frac{2m}{m+1}，\frac{3}{m+1}）$，
设平面AED的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=\frac{2m}{m+1}y+\frac{3}{m+1}z=0}\end{array}\right.$，取x=$-\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}=（-\sqrt{3}，1，-\frac{2}{3}m）$．
平面ADC的一个法向量$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$．
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\frac{2}{3}m}{\sqrt{3+1+\frac{4}{9}{m}^{2}}×1}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
解得：m=1．
故选：A．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题．