Question

13．己知函数f（x）=log₂（4^x+1）-x
（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；
（2）判断f（x）的单调性（不需要证明）；
（3）解关于m的不等式f（m）-f（2m+1）＜0．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=log₂（4^x+1）-x是偶函数．利用对数性质能推导出f（-x）=f（x）．
（2）根据偶函数在对称区间上单调性相反，可得f（x）的单调性；
（3）若f（m）-f（2m+1）＜0，则f（m）＜f（2m+1），结合函数的单调性，可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=log₂（4^x+1）-x是偶函数，理由如下：
函数f（x）=log₂（4^x+1）-x的定义域R关于原点对称，
且f（-x）=log₂（4^-x+1）+x=log₂（$\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$）+x=log₂（4^x+1）-2x+x=log₂（4^x+1）-x=f（x），
故f（x）为偶函数；
（2）偶函数在对称区间上单调性相反，
故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，在（-∞，0）上为减函数；
（3）若f（m）-f（2m+1）＜0，则f（m）＜f（2m+1），
则|m|＜|2m+1|，即m²＜（2m+1）²，
解得：m∈（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）

点评 本题考查的知识是函数的奇偶性，函数的单调性，利用单调性解不等式，难度中档．