题目内容
【题目】如图，已知椭圆C： 
的右顶点为A，离心率为e，且椭圆C过点 
，以AE为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l（直线l不过原点且斜率存在）与椭圆C交于P，Q两个不同的点，且△OPQ的面积S=1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点E1 ， E2 ， 使得直线NE1与NE2的斜率之积为定值？若存在，求出E1 ， E2的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）
解：连接EF，则EF⊥FA，则xF=c=2e，则c= 
，解得：a=2，
故点E（c， 
），代入椭圆方程： 
，解得：c= 
，
b2=a2﹣c2=1，
故椭圆的方程： 
（2）
解：设直线l的方程为：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 
，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2=4=0，
x1+x2=﹣ 
，x1x2= 
，
则丨PQ丨= 
= 
，
原点到直线l的距离d= 
，
∴△OPQ的面积S△OPQ= 
丨PQ丨×d= × =1，
即2丨m丨 
=1+4k2，则1+4k2=2m2，
设N（x，y），则x= 
=﹣ 
=﹣ 
，y= 
= 
= 
，
由①，②消去m， 
，
假设x轴上，存在两定点E1（s，0），E2（t，0），（s≠t）
那么直线NE1的斜率k1= 
，直线NE2的斜率k2= 
，
则k1k2= 
=﹣ 
，
当且仅当s+t=0，st=﹣2，k1k2=﹣ 
，解得：s= 
，t=﹣ ，
即存在定点E1（ ，0），E2（﹣ ，0），满足题意．
【解析】（1）由题意可知c=2e，根据椭圆的离心率公式，即可求得a，将E代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，由S=1，求得1+4k2=2m2 ， 设两点坐标，利用斜率公式，即可求得两点坐标．
