Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求sinB的值；
（2）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABD面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ．

可得：

由正弦定理： ．

得： ．即cosB= ．

那么：sinB=

（2）解：由BD=1，运用向量的关系，可得| |=2| |=2，

可得：| |2+| |2+2 =4，

则| |2+| |2+2| |cosB=4，

由余弦定理：得| |2+| |2=4﹣ ×| |

∵| |2+| |2≥2| || |，（当且仅当| |=| |时取等号）

∴4﹣ ×| |≥2| || |，

∴| || |≤ ．

∴△ABC面积S= | || |sinB≤ =

那么：△ABD面积的最大值为 = ．

【解析】（1）运用正弦定理和三角形的内角和定理可得cosB，即可得sinB的值．（2）由BD=1，运用向量的关系可得| |=2| |=2，平方后，可得| |2+| |2+2 =4利用基本不等式即可求解△ABD面积的最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．