题目内容

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2
3
，∠ABC=
π
3
．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A-A1C-B的正弦值．
（1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得sin∠ACB=
1
2
⇒∠ACB=
π
6

∴AB⊥AC
以A为原点，分别以AB、AC、AA1为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图
则A（0，0，0）A1(0，0，2
3
)B（2，0，0）C(0，2
3
，0)
AB
=(2，0，0)
A1C
=(0，2
3
，-2
3
)
AB
•
A1C
=0⇒
AB
⊥
A1C

即AB⊥A1C．
（2）由（1）知
A1B
=(2，0，-2
3
)
设二面角A-A1C-B的平面角为α，cosα=cos＜
n
，
m
＞=
n
•
m
|
n
||
m
|
=
2
3
2×
5
=
15
5

∴sinα=
1-cos2α
=
10
5

练习册系列答案
相关题目
如图，己知平行四边形1BCD中，∠B1D=6三°，1B=6，1D=3，G为CD中点，现将梯形1BCG沿着1G折起到1FoG．
（1）求证：直线Co∥平面1BF；
（2）如果FG⊥平面1BCD求二面B-oF-1的平面角的余弦值．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为线段CD中点．
（1）求直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值；
（2）若AB=2，求二面角A-B1E-
A_
1的大小；
（3）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的点，AB1∥平面BC1Q．
（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为
2
4
，求二面角Q-BC1-C的余弦值．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（　　）
A．
10
5
B．
10
10
C．
1
3
D．
2
2
3
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是底面A1B1C1D1的中心，M是CD的中点，则P到平面AMD1的距离为______．
已知如图，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）异面直线AB、CD所成的角为α，异面直线AC、BD所成的角为β，求证：α=β；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值的绝对值．
若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（　　）
A．﹣B．C．D．
已知向量和的夹角为1200，，则（   ）.
A．B．C．4D．

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