Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的点，AB₁∥平面BC₁Q．
（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为

2

4

，求二面角Q-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）连接B₁C交BC₁于点P，连接PQ．
因为直线AB₁∥平面BC₁Q，AB₁?平面AB₁C，平面BC₁Q∩平面AB₁C=PQ，
所以AB₁∥PQ．
因为P为B₁C的中点，且AB₁∥PQ，
所以，Q为AC的中点．
（II）如图建立空间直角坐标系，设AB=BC=a，BB₁=b，则平面BC₁C的法向量

m

=(1，0，0)．
B（0，0，0），C₁（0，a，b），Q(

3

4

a，

1

4

a，0)，
∴

BC1

=(0，a，b)，

QC1

=(-

3

4

a，

3

4

a，b)．
∵QC₁与平面BC₁C所成角的正弦值为

2

4

，
∴

2

4

=|cos＜

QC1

，

m

＞|=

| QC1 • m |

| QC1 || m |

=

3 4 a

3 16 a2+ 9 16 a2+b2

，化为3a²=4b²，取b=

3

2

a．
设平面C₁BQ的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • BC1 =0 n • QC1 =0

，即

ay+bz=0 - 3 4 ax+ 3a 4 y+bz=0

，及b=

3

2

a．
令x=1，解得y=-

3

，z=2，∴

n

=(1，-

3

，2)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

8

=

2

4

．
故二面角Q-BC₁-C的余弦值为

2

4

．