Question

11．已知关于x的函数f（x）=x²-2$\sqrt{b}x+{a^2}$，若点（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}x+y-6≤0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}$内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{11}{27}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{27}$

Answer 1

分析 根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．

解答 解：若函数f（x）在R上有零点，
则满足判别式△=4b-4a²≥0，即b＞a²
区域$\left\{\begin{array}{l}x+y-6≤0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}$的面积S=$\frac{1}{2}×6×6$=18，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$，解得x=2，y=4，即（2，4），
则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S=${∫}_{0}^{2}（6-x-{x}^{2}）dx$=$（6x-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{2}$=$\frac{22}{3}$，
∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为$\frac{11}{27}$，
故选：B．

点评 本题主要考查几何概型的概率计算，以及利用积分求区域面积，属于中档题．