Question

20．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①在直角坐标平面内，到点（-1，2）和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是抛物线；
②设F₁、F₂为两个定点，k为非零常数，若|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=k，则P点的轨迹为双曲线；
③方程4x²-8x+3=0的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过单位圆O上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}$=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），则动点P的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为③．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①，定点（2，1）在定直线3x+4y-10=0上，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线．
②，利用双曲线的定义，即可得出结论．
③，求出方程的两根即可得到答案．
④，设P（x，y），由$\overrightarrow{OP}$=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），得B（x-m，y-n），把B的坐标代入圆x²+y²=1得到P的轨迹仍为圆，

解答 解：对于①，因为点（-1，2）在直线2x+3y-4=0上，∴到点（-1，2）和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线，不是抛物线，故①错；
对于②，中当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴②错；
对于③，方程4x²-8x+3=0的两根为$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{2}$可以分别作为椭圆和双曲线的离心率，故③正确；
对于④，设单位圆O的方程为x²+y²=1，点A（m，n），P（x，y），由$\overrightarrow{OP}$=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），得B（x-m，y-n），因为B在已知圆上，把B的坐标代入圆x²+y²=1得到P的轨迹仍为圆，故错；
故答案为：③．

点评 本题考查了有关圆锥曲线的命题真假的判定，属于基础题．