Question

19．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$的长轴长是短轴长的2倍，右焦点为F，点B，C分别是该椭圆的上、下顶点，点P是直线l：y=-2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M，记直线BM，BP的斜率分别为k₁，k₂．
（1）当直线PM过点F时，求$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$的值；
（2）求|k₁|+|k₂|的最小值，并确定此时直线PM的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出椭圆的方程及焦点坐标，进而可得直线PM的方程，联立直线方程，可得M点坐标，进而可得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$的值；
（2）设P（m，-2），由基本不等式可得|k₁|+|k₂|的最小值时，$m=±2\sqrt{3}$，进而可得直线PM的方程．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$的长轴长是短轴长的2倍得a=2．…（1分）
由题意B（0，1），C（0，-1），焦点$F（\sqrt{3}，0）$，
当直线PM过点F时，则直线PM的方程为$\frac{x}{{\sqrt{3}}}+\frac{y}{-1}=1$，即$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-1$，
令y=-2得$x=-\sqrt{3}$，则$P（-\sqrt{3}，-2）$．…（3分）
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{8\sqrt{3}}}{7}\\ y=\frac{1}{7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$（舍），即$M（\frac{{8\sqrt{3}}}{7}，\frac{1}{7}）$．…（4分）
因为$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{3}，3）$，$\overrightarrow{PM}=（\frac{{15\sqrt{3}}}{7}，\frac{15}{7}）$，…（5分）
所以$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}=\frac{45}{7}+\frac{45}{7}=\frac{90}{7}$．…（6分）
（2）设P（m，-2），且m≠0，则直线PM的斜率为$k=\frac{-1-（-2）}{0-m}=-\frac{1}{m}$，
则直线PM的方程为$y=-\frac{1}{m}x-1$，…（7分）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{m}x-1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$化简得$（1+\frac{4}{m^2}）{x^2}+\frac{8}{m}x=0$，解得$M（-\frac{8m}{{{m^2}+4}}，\frac{{4-{m^2}}}{{{m^2}+4}}）$，…（8分）
所以${k_1}=\frac{{\frac{{4-{m^2}}}{{{m^2}+4}}-1}}{{-\frac{8m}{{{m^2}+4}}}}=\frac{{-2{m^2}}}{-8m}=\frac{1}{4}m$，${k_2}=\frac{1-（-2）}{0-m}=-\frac{3}{m}$，…（10分）
则$|{k_1}|+|{k_2}|=|-\frac{3}{m}|+|\frac{1}{4}m|≥2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$，当且仅当$|-\frac{3}{m}|=|\frac{1}{4}m|$，即$m=±2\sqrt{3}$时取等号．
所以|k₁|+|k₂|的最小值为$\sqrt{3}$．
此时直线PM的方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{6}x-1$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积，基本不等式，难度中档．