Question

已知定点A(－2,0)和B(2,0)，曲线E上任一点P满足|PA|－|PB|＝2.
（1）求曲线E的方程；
（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直线l的方程为x＝a(a≤)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得从PQ的中点R向l作垂线，垂足为C，满足PC⊥QC，求a的取值范围。

Answer 1

（1）x²－＝1(x＞0) ；（2）|PQ|_min＝6;(3) a≤－1.

试题分析：（1）由题意可知P点轨迹为双曲线，由a，c求出b的值，则方程可求；
（2）当直线斜率存在时，设出直线方程，和双曲线方程联立后求得判别式大于0，再由两根之和大于0，且两根之积大于0联立求得k的范围由弦长公式写出弦长，借助于k的范围求弦长的范围，当斜率不存在时直接求解；
（3）由题意，|CR|＝|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴，由|CR|＝－a＝－a
∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1，若直线PQ垂直于x轴，这时|PQ|＝6，|CR|＝2－a ∴a＝－1， 综上a≤－1.
试题解析：解：（1）由双曲线的定义得：曲线E是以A， B为焦点的双曲线的右支，所以曲线E的方程为：x²－＝1(x＞0)                          2分
（2）若直线PQ不垂直于x轴，设直线PQ的方程为：y＝k(x－2)
由，得(3－k²)x²＋4k²x－(4k²＋3)＝0        3分
设p(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，这里x₁＞0，x₂＞0
则：   得：k²＞3 6分
|PQ|＝|x₁－x₂|＝＝6＋＞6        6分
若直线PQ垂直于x轴，则直线PQ的方程为x＝2。        8分
这时P(2，3)，Q(2，－3)，所以|PQ|＝6，
综上：|PQ|_min＝6  9分
（3）据题意得：|CR|＝|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴，
由|CR|＝－a＝－a                        10分
∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1  12分
若直线PQ垂直于x轴，这时|PQ|＝6，|CR|＝2－a
∴a＝－1.                                         13分
综上a≤－1.                                        14分