Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，，．过点做四棱锥的截面，分别交，，于点，已知，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）在上取点，且满足，连接，，可证是平行四边形，即可证明结论；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角公式计算即可求解．

（Ⅰ）证明：在上取点，且满足，

连接，，则，且，

因为，

所以，且

所以是平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）过点作与平行的射线，易证两两垂直，

所以以为轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则有，

设平面的法向量为，则

，令，解得

所以是平面的一个法向量

因为点在上，所以

因为平面，所以，

解得，所以

或如下证法：因为平面且平面平面，

所以，

所以，

因为为中点，所以为中点，所以，

所以，

设平面的法向量为，则

，令，解得

所以是平面的一个法向量，，

所以与平面所成角的正弦值为．