Question

【题目】已知函数．

（1）若在处的切线方程为，求实数的值；

（2）证明：当时，在上有两个极值点；

（3）设，若在上是单调减函数（为自然对数的底数），求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）对函数求导，通过切线的斜可求出的值，把切点代入切线方程可求出的值；

（2）将原问题转化为在上有两个变号零点，再对求导，判断其在上的单调性，然后结合零点存在定理证明；

（3）先将函数整理成，，令，通过求导、换元和构造函数可证明函数在上单调递增．然后分①，②和③三类情况，分别讨论在满足在上是单调减函数的情形下的取值范围．

（1），，解得：，

又，，解得：；

（2），

在上有两个极值点等价于在上有两个变号零点，

，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，，

又，，

在和上各有一个变号零点，

在上有两个极值点；

（3），，

令，则，

令，设，，则，

在上单调递增，，

即当时，，，在上单调递增.

①当时，，

在上是减函数，，

令，

则恒成立，在上单调递减，

，解得：；

②当，即时，，

由①知：，

在上是减函数，恒成立，

即对恒成立，

令，，

则，

在上单调递减，，

，又，；

③若，在上单调递增，

，

存在唯一的使得，此时，

而，，在上不单调，不合题意；

综上所述：实数的取值范围为.