Question

5．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin²ωx+sinωxcosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上取最小值时x的值．

Answer 1

分析 本题属于三角函数常考题型，也是基础题型．
（1）首先需要对f（x）进行三角函数化简，求出f（x）=$sin（2wx-\frac{π}{3}）$；
（2）第1题由 y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$，求出最小正周期T；利用换元法求三角函数值域．

解答 解：化简三角函数式：
 f（x）=$\sqrt{3}$sin²ωx+sinωxcosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}$$（\frac{1-cos2wx}{2}）+\frac{1}{2}sin2wx-\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2wx-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2wx$
=$sin（2wx-\frac{π}{3}）$（ω＞0）；
（1）∵y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$；
∴$\frac{π}{4}=\frac{1}{4}T$  （T为f（x）的最小正周期）；
∴T=π；
由 T=$\frac{2π}{2w}$ 知：ω=1；
（2）∵f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$；
∴当$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值sin（-$\frac{π}{3}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
此时，由$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{3}$知，x=0．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题属于三角函数常考题型，也是基础题型．此类题型考生应该需要熟练掌握，尤其要熟练利用三角函数公式进行化简．