Question

已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M₁（26，1），M₂（2，1），且

|MM1|

|MM2|

=5．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（-2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；
（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，得

|MM1|

|MM2|

=5.

(x-26)2+(y-1)2

(x-2)2+(y-1)2

=5，
化简，得x²+y²-2x-2y-23=0…（3分）
即（x-1）²+（y-1）²=25．
∴点M的轨迹方程是（x-1）²+（y-1）²=25，
轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．…（6分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：x=-2，此时所截得的线段的长为2

52-32

=8，
∴l：x=-2符合题意．…（8分）
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
圆心到l的距离d=

|3k+2|

k2+1

，由题意，得（

|3k+2|

k2+1

）²+4²=5²，解得k=

5

12

．
∴直线l的方程为

5

12

x-y+

23

6

=0，即5x-12y+46=0．
综上，直线l的方程为x=-2，或5x-12y+46=0…（12分）

点评：本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．