Question

若关于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(-

  3

  5

  ，1]
• B．（-1，1）
• C．（-1，1]
• D．(-

  3

  5

  ，1)

Answer 1

分析：首先题目由不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围，考虑转化为函数f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．对任意的x，函数值小于零的问题．再分类讨论a=1或a≠1的情况即可解出答案．

解答：解：设函数f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．由题设条件关于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R．
可得对任意的x属于R．都有f（x）＜0．
又当a≠1时，函数f（x）是关于x的抛物线．故抛物线必开口向下，且于x轴无交点．
故满足

a2-1＜0 △=(a-1)2+4(a2-1)＜0

故解得-

3

5

＜x＜1．
当a=1时．f（x）=-1．成立．
综上，a的取值范围为(-

3

5

，1]．
故选A．

点评：此题主要考查函数的性质问题，其中应用到函数在不同区间的值域，对于抛物线值域问题一直是高考重点题型，多以选择填空的形式出现，同学们要注意掌握．