Question

20．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A．
（1）求cosA；
（2）设$a=\frac{{4{m^2}+4m+9}}{m+1}$（m＞0），求△ABC的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析易得B=180°-3A，结合正弦定理分析可得sinA+2sinA•cosA=2sin3A，对其变形可得8cos²A-2cosA-3=0，解可得答案；
（2）对于$a=\frac{{4{m^2}+4m+9}}{m+1}$，由基本不等式的性质分析可得a的最小值，可得a的值，由正弦定理可得S_△ABC关于a的表达式，由a的最小值，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，C=2A，则B=180°-3A，
又因为a，b，c成等差数列，所以 a+c=2b，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB；
sinA+2sinA•cosA=2sin3A=2sin（A+2A）=2sinA•cos2A+2cosA•sin2A=2sinA（4cos²A-1）；
整理得：8cos²A-2cosA-3=0
解之得：$cosA=\frac{3}{4}$或$cosA=-\frac{1}{2}$（舍去）
（2）∵$a=\frac{{4{m^2}+4m+9}}{m+1}=4（m+1）+\frac{9}{m+1}-4≥12-4=8$$（当且仅当m=\frac{1}{2}时取等号）$，
又$cosA=\frac{3}{4}$，$sinA=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，$sinC=\frac{{3\sqrt{7}}}{8}$，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
$c=\frac{3}{2}a$，a+c=2b，可得$b=\frac{5}{4}a$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{{15\sqrt{7}}}{64}{a^2}≥15\sqrt{7}$
即所求的△ABC面积的最小值为15$\sqrt{7}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的应用，涉及基本不等式的性质，关键是求出A的值．