Question

13．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定义在R上的奇函数；
（1）求a、b的值，判断并证明函数y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调性
（2）已知k＜0且不等式f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0对任意的t∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由定义f（-x）=$\frac{-x+a}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$，从而求出a=b=0，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，利用导数性质能证明y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．
（2）由f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）为奇函数得：f（t²-2t+3）＜f（1-k），从而t²-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，由此能求出实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函数
∴由定义f（-x）=$\frac{-x+a}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$，
∴a=b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．
证明如下：
∵f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，∴${f}^{'}（x）=\frac{-{x}^{2}+1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∵x＞1，∴f′（x）＜0，
∴y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．
（2）由f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）为奇函数得：f（t²-2t+3）＜f（1-k）
因为t²-2t+3≥2，1-k＞1，且y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减，
所以t²-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，
因为t²-2t+3的最小值为2，所以2＞1-k，∴k＞-1
∵k＜0，∴-1＜k＜0．
∴实数k的取值范围是（-1，0）．

点评 本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断与证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．