Question

19．若函数f（x）=e^x（sinx+a）在区间（0，π）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，-$\sqrt{2}$]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 利用导函数研究其单调性即可得答案．

解答 解：由题意：函数f（x）=e^x（sinx+a）
那么：f′（x）=e^x（cosx+sinx+a）=e^x[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a]
∵x∈（0，π）
∴$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{5π}{4}$，
则：[sin（x+$\frac{π}{4}$）]_min=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵函数f（x）在区间（0，π）上单调递减，
∴有$\sqrt{2}$[sin（x+$\frac{π}{4}$）]_min+a≤0，
解得：a≤1，
实数a的取值范围是（-∞，1]．
故选D．

点评 本题考查了函数单调性的运用求解参数问题，利用了导函数研究原函数的单调性．属于基础题．