Question

已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方，．

（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：（1）由,,.即可求得的取值范围.
(2)由（1）可得.以及是圆的直径可得.即可求出椭圆的方程.
（3）由（2）可得圆Q的方程.切点M,N所在的圆的方程上任一点坐标为P（x,y）.由.即得.则M,N所在的直线方程为.两圆方程对减即可得到.根据过定点的知识即可求出定点.本题涉及的知识点较多，渗透方程的思想，加强对几何图形的关系理解.
试题解析： ， ∴，．
(1)，∴,在上单调递减．
∴时，最小，时，最大，∴，∴．
(2)当时，，∴，∴．
∵,∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴=6．又，∴．∴椭圆方程是    10分
（3）由（2）得到，于是圆心,半径为3，圆的方程是．椭圆的右准线方程为，,∵直线AM,AN是圆Q的两条切线，∴切点M,N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为，∴该圆方程为．∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：，这就是直线MN的方程．该直线化为：
∴直线MN必过定点．                     16分