Question

设椭圆：的左、右焦点分别是、，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图.若抛物线：与轴的交点为，且经过、两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）的面积的最大值为．

试题分析：（Ⅰ）求椭圆的方程，本题解题的关键是利用抛物线的方程求出椭圆方程中参数的值，抛物线：与轴的交点为，且经过、两点，求出、、两点点的坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出，就能写出椭圆方程；（Ⅱ）设，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值，利用抛物线线上的点的切线方程与圆联立利用弦长公式与点到直线的距离公式分别求出三角形的底边长度与高，表示出△MPQ的面积利用函数的知识求出最值，设（），表示出过点的抛物线的切线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式表示出线段的长度，再求出点到直线的距离为，表示出面积，由于其是参数的函数，利用函数的知识求出其最值即可得到，的面积的最大值．
试题解析：（Ⅰ）由题意可知B（0， 1），则A（0， 2），故b=2．    2分
令y=0得即，则F₁( 1，0)，F₂（1，0），故c =1．    4分

所以．于是椭圆C₁的方程为：．    6分
（Ⅱ）设N（），由于知直线PQ的方程为：
． 即．    7
代入椭圆方程整理得：,
=,
 , ,    9分
故
．    10分
设点M到直线PQ的距离为d，则．
所以，的面积S
     12分
当时取到“=”，经检验此时，满足题意．
综上可知，的面积的最大值为．    13分