Question

13．已知a∈{x|（$\frac{1}{2}$）^x-x=0}，则f（x）=log_a（4+3x-x²）的单调减区间为（-1，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由函数零点存在性定理求出方程（$\frac{1}{2}$）^x-x=0的根的范围，得到a的范围，由4+3x-x²＞0求出对数型函数的定义域，得到内函数t=4+3x-x²的增区间，再由外函数y=log_at为定义域内的减函数，结合复合函数的单调性求得f（x）=log_a（4+3x-x²）的单调区间．

解答 解：方程（$\frac{1}{2}$）^x-x=0的根，即为函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-x的零点，
∵g（0）=$（\frac{1}{2}）^{0}-0=1＞0$，g（1）=$（\frac{1}{2}）^{1}-1=-\frac{1}{2}＜0$，
∴函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-x的零点在（0，1）内，即方程（$\frac{1}{2}$）^x-x=0的根在（0，1）内，
又a∈{x|（$\frac{1}{2}$）^x-x=0}，∴0＜a＜1．
令t=4+3x-x²，由t＞0，解得-1＜x＜4．
函数t=4+3x-x²的对称轴方程为x=$\frac{3}{2}$，
当x∈（-1，$\frac{3}{2}$]时，内函数t=4+3x-x²为增函数，
而外函数y=log_at为定义域内的减函数，
∴f（x）=log_a（4+3x-x²）的单调减区间为（-1，$\frac{3}{2}$]．
故答案为：（-1，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．