Question

13．已知圆C的圆心极坐标为（2，$\frac{π}{4}$），半径为1．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若Q是圆C上动点，点P在直线OQ上，且$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OQ}$，求点P轨迹的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）先求出圆的直角坐标方程，再由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，θ=y，能求出圆C的极坐标方程．
（2）设Q（$\sqrt{2}+cosθ$，$\sqrt{2}+sinθ$），（0≤θ＜2π）P（x，y），由$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OQ}$，得（x，y）=（2$\sqrt{2}+2cosθ$，2$\sqrt{2}+2sinθ$），由此先求出P的直角坐标方程，再由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，θ=y，能求出点P轨迹的极坐标方程．

解答 解：（1）∵圆C的圆心极坐标为（2，$\frac{π}{4}$），半径为1．
∴x=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
∴圆的直角坐标方程为（x-$\sqrt{2}$）²+（y-$\sqrt{2}$）²=1，
即${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y+3=0$，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，θ=y，
得圆C的极坐标方程为${ρ}^{2}-2\sqrt{2}ρ（cosθ+sinθ）+3$=0．
（2）∵Q是圆C上动点，O（　　），0），∴设Q（$\sqrt{2}+cosθ$，$\sqrt{2}+sinθ$），（0≤θ＜2π）
设P（x，y），∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OQ}$，∴（x，y）=（2$\sqrt{2}+2cosθ$，2$\sqrt{2}+2sinθ$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}+2cosθ}\\{y=2\sqrt{2}+2sinθ}\end{array}\right.，0≤θ＜2π$，
∴P的直角坐标方程为$（x-2\sqrt{2}）^{2}+（y-2\sqrt{2}）^{2}=4$，
即${x}^{2}+{y}^{2}-4\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y+12=0$，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，θ=y，
得点P轨迹的极坐标方程为${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθ+sinθ）+12=0$．

点评 本题考查圆的极坐标方程和点的轨迹的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直角坐标方程和极坐标方程转化公式的合理运用．