Question

3．已知A，B，C是△ABC的三内角，y=tan$\frac{A}{2}$+$\frac{2cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}+cos\frac{B-C}{2}}$若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论．

Answer 1

分析 利用诱导公式对y的表达式进行化简整理求得y=$tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}$，进而可推断出任意交换两个角的位置，y的值均不变化．

解答 解：∵A，B，C是△ABC的三内角，∴A+B+C=π，
则$\frac{A}{2}=\frac{π}{2}-\frac{B+C}{2}$．
∴y=tan$\frac{A}{2}$+$\frac{2cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}+cos\frac{B-C}{2}}$
=$tan\frac{A}{2}$+$\frac{2cos（\frac{π}{2}-\frac{B+C}{2}）}{sin（\frac{π}{2}-\frac{B+C}{2}）+cos\frac{B-C}{2}}$
=tan$\frac{A}{2}$+$\frac{2（sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}）}{2cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$
=$tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}$．
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化．

点评 本题主要考查三角恒等式的证明，考查利用诱导公式化简求值，以及同角三角函数的基本关系的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．是中档题．