Question

已知α∈(

π

2

，π)，且sin

α

2

+cos

α

2

=

2 3

3

．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）若sin(α+β)=-

3

5

，β∈(0，

π

2

)，求sinβ的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简求出sinα，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值；
（2）由α与β的范围，求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，将sinβ变形为sin[（α+β）-α]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）将sin

α

2

+cos

α

2

=

2 3

3

两边平方得：（sin

α

2

+cos

α

2

）²=sin²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

+cos²

α

2

=1+sinα=

4

3

，
∴sinα=

1

3

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

1-sin2α

=-

2 2

3

；
（2）∵α∈（

π

2

，π），β∈（0，

π

2

），
∴α+β∈（

π

2

，

3π

2

），
∵sin（α+β）=-

3

5

＜0，
∴α+β∈（π，

3π

2

），
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4

5

，
则sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-

3

5

×（-

2 2

3

）-（-

4

5

）×

1

3

=

2 2

5

+

4

15

=

6 2 +4

15

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．