Question

3．在坐标平面xoy内，点A（x，y）（不是原点）的“k-相好点”B是指：满足|OA|•|OB|=k（O为坐标原点）且在射线OA上的点，若点P₁，P₂，…P₂₀₁₇是直线y=-2x+10上的2017个不同的点，他们的“10-相好点”分别是${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$
（1）若P₁（2，6），求${P_1}^/$的坐标；
（2）证明：点${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圆，并求出圆的方程C；
（3）判断第（2）问中的圆C与直线（3+3λ）x-（4+λ）y-3λ=0（λ∈R）的位置关系．

Answer 1

分析 （1）由题意求出$|O{P_1}|=2\sqrt{10}$，$|O{P_1}^/|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，由此能求出${P_1}^/$的坐标．
（2）过点O作OQ₁⊥直线y=-2x+10，垂足为Q₁，设Q₁的“10-相好点”为${Q_1}^/$，则$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$，由此能证明点${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圆，联立$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+10\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$，得Q₁（4，2），从而求出${Q_1}^/（2，1）$，进而求出圆C的方程．
（3）推导出$（\frac{4}{3}，1）$恒在圆的内部，从而得到圆C与直线（3+3λ）x-（4+λ）y-3λ=0（λ∈R）的位置关系是相交．

解答 解：（1）由题意：$|O{P_1}|=2\sqrt{10}$，由$|O{P_1}||O{P_1}^/|=10$
则$|O{P_1}^/|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
又点${P_1}^/$在直线y=3x上，且在射线OP₁上，设点${P_1}^/（x，3x）$
所以$\sqrt{{x^2}+9{x^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
故${P_1}^/$的坐标为${P_1}^/（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$
证明：（2）过点O作OQ₁⊥直线y=-2x+10，垂足为Q₁，设Q₁的“10-相好点”为${Q_1}^/$
则$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$又∵$|O{P_1}||O{P_1}^/|=10$∴$|O{P_1}||O{P_1}^/|=|O{Q_1}||O{Q_1}^/|$即：$\frac{{|O{P_1}|}}{{|O{Q_1}|}}=\frac{{|O{Q_1}^/|}}{{|O{P_1}^/|}}$
又$∠{P_1}O{Q_1}=∠{Q_1}^/O{P_1}^/$∴$△O{P_1}{Q_1}相似△O{Q_1}^/{P_1}^/$∴$∠O{P_1}^/{Q_1}^/=∠O{Q_1}{P_1}={90^0}$∴${P_1}^/$在以$O{Q_1}^/$为直径的圆上，
同理可证：${P_2}^/，{P_3}^/，…{P_{2017}}^/$都在以$O{Q_1}^/$为直径的圆上
所以点${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圆
由题意$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+10\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$联立求解，得Q₁（4，2）
由于$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$且${Q_1}^/$在射线OQ₁上
所以${Q_1}^/（2，1）$
则圆C的方程为：${（x-1）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{5}{4}$
解：（3）∵直线（3+3λ）x-（4+λ）y-3λ=0（λ∈R）恒过$（\frac{4}{3}，1）$
而$（\frac{4}{3}，1）$恒在圆的内部．
故圆C与直线（3+3λ）x-（4+λ）y-3λ=0（λ∈R）的位置关系是相交．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查点共圆的证明，考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．