Question

9．如果a＞1，那么a+$\frac{{a}^{2}}{a-1}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通分化简，分离常数，里基本不等式的性质求解即可．

解答 解：由题意：a+$\frac{{a}^{2}}{a-1}$=$\frac{2{a}^{2}-a}{a-1}$=$\frac{2（a-1）^{2}+3（a-1）+1}{a-1}$=$2（a-1）+\frac{1}{a-1}$+3
∵a＞1
∴$2（a-1）+\frac{1}{a-1}$+3≥2$\sqrt{\frac{1}{a-1}•2（a-1）}$+3=3+$2\sqrt{2}$
当且仅当a=$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
所以a+$\frac{{a}^{2}}{a-1}$的最小值为3+$2\sqrt{2}$．
故答案为3+$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了分离常数的思想，利用基本不等式的性质求解最值，属于基础题．