Question

17．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^{1-x}}$，则：①2是函数f（x）的周期；②函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；④当x∈（3，4）时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^{x-3}}$．其中所有正确命题的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ②④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据条件求出函数的周期，即可判定①的真假，根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，以及在（0，1）上的单调性，可判定②的真假，根据单调性和周期性可求出函数的最值，可判定③的真假，最后求出函数在x∈[3，4]时的解析式即可判定④的真假．

解答 解：∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x）则f（x）的周期为2，故①正确；
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^{1-x}}$，
∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；
∴函数f（x）的最大值是f（1）=1，最小值为f（0）=$\frac{1}{2}$，故③不正确；
设x∈[3，4]，则4-x∈[0，1]，f（4-x）=$（\frac{1}{2}）^{x-3}$=f（-x）=f（x），故④正确；
故选C．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性以及函数的最值，同时考查了分析问题的能力，是中档题．