Question

19．己知双曲线$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{m-1}$=1，焦点在x轴上．
（1）求m的范围；
（2）已知双曲线离心率是$\sqrt{2}$，过双曲线的右焦点F，作倾角是45°的直线L与该双曲线交于A点，求原点O到A点的距离．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{m-1}$=1，焦点在x轴上，可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$，即可求m的范围；
（2）求出倾角是45°的直线L的方程为y=x-1，代入双曲线方程，求出A的坐标，即可求原点O到A点的距离．

解答 解：（1）∵双曲线$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{m-1}$=1，焦点在x轴上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$，∴0＜m＜1；
（2）∵双曲线离心率是$\sqrt{2}$，∴m=1-m，∴m=$\frac{1}{2}$．
∴c=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$=1，
∴倾角是45°的直线L的方程为y=x-1，
代入双曲线方程，可得x=$\frac{3}{2}$，∴A（$\frac{3}{2}$，±$\frac{\sqrt{7}}{2}$），
∴原点O到A点的距离是$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{7}{4}}$=2．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．