Question

3．已知A，B，P是双曲线mx²-ny²=1（m＞0，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率积为$\frac{2}{3}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 设出点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{2}{3}$，即可求得结论．

解答 解：由mx²-ny²=1得$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$=1，
则a²=$\frac{1}{m}$，b²=$\frac{1}{n}$，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{m}{n}$
由题意，设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁）
∴k_PA•k_PB=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
A，B代入两式相减可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{m}{n}$，
∵${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{2}{3}$，∴$\frac{m}{n}$=$\frac{2}{3}$，
∴e²=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用点差法，转化为斜率之间的关系是解决本题的关键．