题目内容

已知A (-sin
x
2
，  sin
x
2
 )，B ( sin
x
2
，  -2 cos
x
2
 )，C ( cos
x
2
，  0 )三点．
（1）求向量
AC
和向量
BC
的坐标；
（2）设f（x）=
AC
•
BC
，求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）的单调递减区间．
分析：（1）由已知点的坐标，由向量的坐标的定义可得；（2）可得f(x)=
AC
•
BC
=(cos
x
2
+sin
x
2
)•(cos
x
2
-sin
x
2
)+(-sin
x
2
)•2cos
x
2
，由三角函数的运算法则化简可得周期；（3）由2kπ≤x+
π
4
≤π+2kπ，k∈Z，解不等式可得单调递减区间．
解答：解：（1）∵A (-sin
x
2
，  sin
x
2
 )，B ( sin
x
2
，  -2 cos
x
2
 )，C ( cos
x
2
，  0 )，
∴
AC
=(cos
x
2
+sin
x
2
，-sin
x
2
)，
BC
=(cos
x
2
-sin
x
2
，2cos
x
2
)，
（2）由（1）知：f(x)=
AC
•
BC

=(cos
x
2
+sin
x
2
)•(cos
x
2
-sin
x
2
)+(-sin
x
2
)•2cos
x
2

=cos2
x
2
-sin2
x
2
-2sin
x
2
cos
x
2
=cosx-sinx
=
2
(cosx•
2
2
-sinx•
2
2
)=
2
cos(x+
π
4
)，
∴f（x）的最小正周期T=2π
（3）由2kπ≤x+
π
4
≤π+2kπ，k∈Z，可得
-
π
4
+2kπ≤x≤
3π
4
+2kπ，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间是[-
π
4
+2kπ，
3π
4
+2kπ]（k∈Z）
点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角函数的周期性和单调性，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(sinx，1)，
b
=(2cosx，2+cos2x)，函数f（x）=
a
•
b

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合．
已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，设函数f（x）=
a
•
b
（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[-
π
6
，
5π
12
]时，求f（x）的值域．
已知
a
=(sinx，-cosx)，
b
=(cosx，
3
cosx)，函数f(x)=
a
•
b
+
3
2
．
（1）求f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
（2）当0≤x≤
π
2
时，求函数f（x）的值域．
（2012•芜湖二模）已知
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)，函数f(x)=
a
•(
a
-
b
)，那么下列四个命题中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π．
②当x=
π
8
时，f（x）有最小值2-
2
2
．
③[-
7
8
π，-
3
8
π]是函数f（x）的一个单调递增区间；
④点（-
π
8
，2）是函数f（x）的一个对称中心．
已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，设函数f(x)=
a
•
b
（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[-
π
6
，
5π
12
]时，求f（x）的最值并指出此时相应的x的值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网