Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=4，E为侧面AB₁的中心，F为A₁D₁的中点．试计算：
（1）

BC

•

ED1

；
（2）

EF

•

FC1

．

Answer 1

分析：将正方体的从顶点A出发的三条棱对应的向量设为基底
（1）将

BC

，

ED1

用基底表示，将它们的数量积用基底的数量积表示利用数量积的运算律求出值．
（2）将

EF

， 

FC1

用基底表示，将它们的数量积用基底的数量积表示利用数量积的运算律求出值

解答：解：如图，设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，
则|

a

|=|

c

|=2，|

b

|=4，

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=0
（1）

BC

•

ED

1
=

b

•[

1

2

(

c

-

a

)+

b

]
=|

b

|2=4²=16；

（2）

EF

•

FC1

=[

1

2

（

c

-

a

）+

1

2

b

]•（

1

2

b+

a

）
=

1

2

（-

a

+

b

+

c

）•（

1

2

b

+

a

）
=-

1

2

|

a

|²+

1

4

|

b

|²
=2．

点评：本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知向量表示从而将未知向量的数量积用已知向量的数量积表示．