Question

【题目】如图，点在以为直径的上运动，平面，且，点、分别是、的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）证明平面可得，再结合即可得出平面，故而平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．

（1）证明：∵平面，平面，

∴，

∵是圆的直径，∴，

又，

∴平面，

又平面．

∴，

∵是的中位线，∴，

∴，

∵，是的中点，

∴，

又，

∴平面，又平面，

∴平面平面．

（2）解：∵是圆的直径，∴，

∵，不妨设，则，，

以，和平面过的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，

∴，，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，则，即，

令得，

由（1）知平面，故为平面的一个法向量，

∴．

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．