Question

9．如图，动点M在圆x²+y²=8上，A（2，0）为一定点，则∠OMA的最大值为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 画出图形，结合图形，利用余弦定理，求出cos∠OMA的最小值，即可得出∠OMA的最大值．

解答 解：设|MA|=a，则|OM|=2$\sqrt{2}$，|OA|=2，
由余弦定理知
cos∠OMA=$\frac{{OM}^{2}{+MA}^{2}{-OA}^{2}}{2OM•MA}$=$\frac{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+a}^{2}-4}{2•2\sqrt{2}a}$=$\frac{1}{4\sqrt{2}}$•（$\frac{4}{a}$+a）≥$\frac{1}{4\sqrt{2}}$•2$\sqrt{\frac{4}{a}•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当a=2时等号成立．
∴∠OMA≤$\frac{π}{4}$，即∠OMA的最大值为$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了点与圆的位置关系和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，属于基础题．