Question

已知函数．
（1）设（其中是的导函数），求的最大值；
（2）求证: 当时，有；
（3）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

(1) 取得最大值；（2）；
（3）整数的最大值是.

试题分析：（1）先求，根据导数判断函数的单调性，再利用单调性求函数的最大值；
（2）当时，有，再根据（1）中有则，所以；
（3）将不等式先转化为，再利用导数求的最小值，因为，结合（1）中的，则，
所以函数在上单调递增．因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是.  
试题解析：(1）, 
所以 ．
当时，；当时，．
因此，在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时，取得最大值；
（2）当时，．由（1）知：当时，，即．
因此，有．
（3）不等式化为 
所以对任意恒成立．令，
则，令，则，
所以函数在上单调递增．因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是.  ，通过放缩法证明不等式；3、恒成立问题，可转化为成立；4、利用导数求函数零点，解决函数的综合问题，要求学生有较高的逻辑思维能力与数学素养.