Question

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：
（1）ab+bc+ca≤

1

3

；
（2）

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

Answer 1

分析：（1）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，a+b+c=1即可证得ab+bc+ac≤

1

3

；
（2）由

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，a+b+c=1即可证得结论．

解答：证明：（1）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1，②
由①②得：3（ab+bc+ac）≤1，
∴ab+bc+ac≤

1

3

；
（2）∵a，b，c均为正数，
∴

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+a+b+c≥2（a+b+c），
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c，a+b+c=1，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查综合法与基本不等式的应用，考查推理证明的能力，属于中档题．