Question

7．如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象与y轴交于点（0，1）．
（Ⅰ）求φ的值．
（Ⅱ）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求tan∠MPN的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把点（0，1）代入函数解析式，即可求出φ的值；
（Ⅱ）根据题意，求出tan$\frac{1}{2}$∠MPN的值，再利用二倍角计算tan∠MPN的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数y=2sin（πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象与y轴交于点（0，1），
∴2sinφ=1，解得φ=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵P是y=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，
∴令2sin（πx+$\frac{π}{6}$）=2，解得x=$\frac{1}{3}$；
令2sin（πx+$\frac{π}{6}$）=0，解得x=-$\frac{1}{6}$或x=$\frac{5}{6}$；
∴tan$\frac{1}{2}$∠MPN=$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$，
tan∠MPN=$\frac{2tan\frac{1}{2}∠MPN}{1{-tan}^{2}\frac{1}{2}∠MPN}$=$\frac{2×\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{8}{15}$．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了正切的二倍角公式的应用问题，是综合性题目．