Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

3

，直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长|AB|．

Answer 1

（1）由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切．
∴b=

2

2

=

2

，
由e=

3

3

得

3

3

=

1- 2 a2

⇒a=

3

，
∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）

x2 3 + y2 2 =1 y=x+2

⇒2x2+3(x+2)2-6=0⇒5x²+12x+6=0．
△=12²-4•5•6=24＞0，
设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=-

12

5

，x1•x2=

6

5

，
∴|AB|=

1+12

•

(- 12 5 )2-4• 6 5

=

4 3

5

．
∴弦长|AB|=

4 3

5

．