Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ） 证明：PA⊥BD；
（Ⅱ） 设PD=AD=1，求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABD中，由已知结合余弦定理可得BD²=3AD²，进一步得到AB²=AD²+BD²，可得BD⊥AD．再由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BD．由线面垂直的判定可得
BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，知∠PCD为PC与平面ABCD所称的角．在Rt△BAD中，求解直角三角形得AB=2，则DC=2，则tan∠PCD可求．

解答 （Ⅰ）证明：在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠DAB，
∴BD²=5AD²-2AD²=3AD²，则AB²=AD²+BD²，即BD⊥AD．
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．
∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD为PC与平面ABCD所称的角．
在Rt△BAD中，AD=1，∠DAB=60°，
∴AB=2，则DC=2，
∴tan∠PCD=$\frac{PD}{DC}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．